la Hipótesis de Riemann

18 11 2010


La investigación aparece publicada en The Physical Review Letters.
La demostración de la Hipótesis de Riemann, más cerca….
► La solución de este problema, considerado uno de los
problemas matemáticos del milenio, está premiada con un
millón de dólares
► La importancia de la hipótesis radica en su relación con la pauta
de distribución de los números primos dentro de la serie de los
números naturales

Madrid, 6 de febrero, 2009

Investigadores de la Universidad de Cambridge y
el Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) han dado un nuevo
paso hacia la demostración de la Hipótesis de Riemman, uno de los
problemas matemáticos del milenio, relacionado con la distribución de los
números primos. Los investigadores proponen un modelo de física cuántica
en el que los ceros de la función zeta de Riemman se corresponden
aproximadamente con los niveles de energía de un electrón sometido a
determinados campos electromagnéticos. El modelo, aunque aún incompleto,
podría ser la clave para la demostración de la hipótesis, premiada con un
millón de dólares.


Desde hace algunas décadas los científicos sospechan que es posible
demostrar la hipótesis de Riemann desde la física, convirtiendo la función zeta
de Riemann -que origina la hipótesis- en una ecuación similar a las usadas en
física cuántica, en la que los ceros de la función correspondan a los niveles de
energía de un sistema cuántico. Los investigadores Germán Sierra, del
Instituto de Física Teórica (centro mixto del CSIC y la Universidad Autónoma
de Madrid) y Paul Townsend, de la Universidad de Cambridge, proponen un
modelo en el que un electrón es sometido a determinados campos
electromagnéticos (en concreto, un campo magnético perpendicular al
electrón y otro campo eléctrico en forma de silla).


“En este modelo los niveles de energía del electrón coinciden, en término
medio, con la posición de los ceros de la función zeta de Riemann, aunque
aún no es capaz de determinar su posición exacta”, explica Germán Sierra. El
modelo es una realización física del modelo matemático propuesto en 1999
por Berry, Keating y Connes. “Es aún incompleto, aunque pensamos que es
un buen punto de partida para una posible demostración física de la hipótesis
y puede estimular el trabajo de otros investigadores”, añade.


El sistema cuántico que proponen es muy usado en el estudio de
determinados fenómenos de materia condensada, por lo que “en principio
sería posible construir en laboratorio un sistema cuyo espectro fueran los
ceros de Riemann”, apostilla el investigador. Sin embargo, esto no llevaría a
una demostración de la hipótesis, que debe hacerse en términos
exclusivamente matemáticos. “Gracias a potentes ordenadores -explica
Sierra- se han calculado billones de ceros de la función de Riemann, pero
esto no constituye una demostración matemática, ya que hay un número
infinito de ceros que ningún ordenador podrá nunca calcular”. Por el mismo
motivo, construir el sistema propuesto por Sierra y Townsend en un
laboratorio tampoco llevaría a una demostración de la hipótesis, aunque
proporciona herramientas para seguir investigando la relación entre la Física
Cuántica y la Teoría de Números.


RIEMANN, LOS NÚMEROS PRIMOS Y EL MILLÓN DE DÓLARES


La hipótesis de Riemann fue formulada en 1859 por el matemático alemán
Georg Friedrich Bernhard Riemann y, aunque de manera algo compleja, está
directamente relacionada con los números primos – aquellos que son sólo
divisibles por 1 o por sí mismos- y su pauta de distribución a lo largo de la
serie de números naturales. Como no era una parte central de su
investigación, el propio Riemann obvió su demostración y, desde entonces, la
comunidad matemática ha intentado hacerlo sin éxito. En el año 2000, el
Instituto Clay de Matemáticas (Estados Unidos) la incluyó como uno de los
problemas del milenio, ofreciendo un millón de dólares a quien la demostrara.
La hipótesis en sí se deriva de la llamada función zeta de Riemann, que se
define como la suma de los inversos de los números enteros elevados a una
potencia que se llama habitualmente s. Es decir, que zeta= suma 1/n ^s,
donde n es cualquier número entre 1 e infinito. Al alimentar esta función, a
veces el valor resultante es cero. Algunos de estos ceros son triviales y fáciles
de predecir, pero otros no. Tan sólo se sabe que están sobre una cierta región
del plano. Lo que Riemann intuyó –en esto consiste su hipótesis- es que
todos están alineados sobre una misma recta de ese plano. Riemann
descubrió además que la posición de los ceros de la función determina la
posición de todos los números primos: son como dos caras de la misma
moneda.




 

La importancia de todo esto radica en que no existe ninguna fórmula o patrón
que prediga la frecuencia de aparición de los números primos. Lo más
parecido es el Teorema de los Números Primos (TNP), de finales del siglo
XIX, que predice -con c
ierto margen de error- cuándo aparecen los primos
dentro de la serie de números naturales. “El Teorema de los Números Primos
viene a decir que aparecen con menor frecuencia según va aumentando el
número de sus dígitos. Esto hace que los primos sean una rara avis en el
mundo de los números”, explica Sierra. “Un buen ejemplo es el sorteo de la
lotería de Navidad: el 22 de diciembre se juegan 85.000 números distintos, de
los que 8.277 son primos. El TNP diría que hay 9.395, así que el margen de
error es bastante grande”. La rareza de los primos y su escasez los hace muy
útiles en la codificación de mensajes, como los que facilitan las transacciones
por Internet.


Lo que implica la hipótesis de Riemann es cuán grande es la variación de la
posición exacta de los números primos respecto a la dada por el TNP. “La
hipótesis no predice la posición de todos y cada uno de los primos, pero
impone un límite al error del TNP. En términos coloquiales se diría que los
números primos son bastante rebeldes pero que la hipótesis de Riemann
impone un límite a esa rebeldía”, explica Sierra.


Sierra Germán and Townsend, Paul. 

Landau Levels and Riemann zeros. Phys.Rev.Lett. 101, 
110201 (2008)
El texto íntegro del artículo está disponible en DigitalCSIC: http://digital.csic.es/handle/10261/5531
Todavía tengo tiempo para adelantarme…. jejeje 😉
Ánimo !!!


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